微分方程的等效积分形式
物理学中的许多问题以未知场函数应满足的微分方程及边界条件的形式表示。
在物理里，场（英语：Field）是一个以时空为变数的物理量。空间中弥漫着的基本相互作用被命名为“场”。[1]场可以分为标量场、向量场和张量场等，依据场在时空中每一点的值是标量、向量还是张量而定。
一般地表示未知函数u满足微分方程组
A(u)=\left\{\begin{array}{c}
A_1(u)\\
A_2(u)\\
\vdots
\end{array}
\right\}=0 \qquad (在\varOmega内)
域\varOmega可以是体积域、面积域等。
u还应满足边界条件
B(u)=\left\{\begin{array}{c}
B_1(u)\\
B_2(u)\\
\vdots
\end{array}
\right\}=0 \qquad (在\varGamma内)
\varGamma是\varOmega的边界。
A,B表示对于独立变量(空间坐标，时间坐标)的微分算子，微分方程数与未知场函数的数目相同。
由于微分方程组(1)在域\varOmega 内每一点都为0，则有
\int_{\varOmega}v^TA(u)d\varOmega \equiv\int_{\varOmega}(v_1A_1(u)+v_2A_2(u)+\cdots)d\varOmega\equiv0\\
v=\left(\begin{array}{c}
v_1\\v_2\\ \vdots
\end{array}
\right)
同理，对任意函数\bar{v}下式成立。
\int_{\varGamma}\bar{v}^TB(u)d\varGamma \equiv\int_{\varOmega}(\bar{v}_1B_1(u)+\bar{v}_2B_2(u)+\cdots)d\varGamma\equiv0
\int_{\varOmega}v^TA(u)d\varOmega +\int_{\varGamma}\bar{v}^TB(u)d\varGamma=0
因此有（5）式对任意的v和\bar{v}都成立等效满足微分方程和边界条件，式（5）为微分方程的等效积分形式。
等效积分的“弱”形式
对式（5）分部积分可以得到另一种形式
\int_{\varOmega}C^T(v)D(u)d\varOmega+\int_{\varGamma}E^T(\bar{v})F(u)d\varGamma=0
由于分部积分，降低了场函数u的阶数，u的连续性要求降低，任意函数v和\bar{v}的结束提高，连续性要求提高。 式（6）被称为等效积分的“弱”形式。
\begin{aligned}
&A(\phi)=\frac{\partial}{\partial x}\left(k\frac{\partial \phi}{\partial x}\right)+\frac{\partial}{\partial y} \left(k\frac{\partial \phi}{\partial y}\right)+Q=0\\
&B(\phi)=\left\{\begin{array}{l}
\phi-\bar{\phi}=0\\
k\frac{\partial\phi}{\partial n}-\bar{q}=0\\
\end{array}
\right.
\end{aligned}
加权余量法
假设未知场函数u可以用近似函数表示，一般形式是
u\approx \bar{u}=\sum_{i=1}^{n}N_ia_i=Na
a_i是待定参数，N_i是试探函数，取自完全的函数序列，线性独立，满足强制边界条件和连续性的要求。
显然在通常情况n只能取有限项,那么就会有残差R,\bar{R}产生。
A(Na)=R;\qquad B(Na)=\bar{R}
在式（5）中用n个独立的函数来替代任意函数v,\bar{v}，即
v=W_j;\qquad \bar{v}=\bar{W}_j\qquad (j=1\sim n)
将W_j,\bar{W}_j代入式（5）
\int_{\varOmega}W^T_jA(u)d\varOmega +\int_{\varGamma}\bar{W}^T_jB(u)d\varGamma=0\qquad (j=1\sim n)
写成余量的形式
\int_{\varOmega}W^T_jRd\varOmega +\int_{\varGamma}\bar{W}^T_j\bar{R}d\varGamma=0\qquad (j=1\sim n)
展开得
\begin{aligned}
&\int_{\varOmega}W^T_1Rd\varOmega +\int_{\varGamma}\bar{W}^T_1\bar{R}d\varGamma=0\\
&\int_{\varOmega}W^T_2Rd\varOmega +\int_{\varGamma}\bar{W}^T_2\bar{R}d\varGamma=0\\
&\cdots\cdots\\
&\int_{\varOmega}W^T_nRd\varOmega +\int_{\varGamma}\bar{W}^T_n\bar{R}d\varGamma=0
\end{aligned}
由上述方程组可以求得权函数的系数。若微分方程组A的个数为m_1，边界条件B的个数为m_2，则权函数W_j是m_1阶函数列阵，\bar{W}_j是m_2阶函数列阵。
等效积分“弱”形式的近似
\int_{\varOmega}C^T(W_j)D(Na)d\varOmega+\int_{\varGamma}E^T(\bar{W_j})F(Na)d\varGamma=0\qquad (j=1\sim n)
权函数的取法
配点法
W_j=\delta(x-x_j)
若\varOmega域是独立坐标x的函数，\delta(x-x_j)则有如下性质：当x\neq x_j时W_j=0，但有
\int_{\varOmega}W_jd\varOmega=I\qquad (j=1,\cdots,n)
这种方法相当于简单地强迫余量在域内n个点内等于0
子域法
在n个子域 \varOmega_j内W_j=I，在子域\varOmega_j外W_j=0。
最小二乘法
当近似解取为\tilde{u}=\sum_{i=1}^nN_i a_i时，权函数W_i=\frac{\partial \tilde{u}}{\partial a_i}
力矩法
W_j=1,x,x^2,\cdots
伽辽金法
权函数取为基函数，且将边界与内部的权函数符号相反\bar{W}_j=-W_j=-N_j
则加权余量方程为 ：\int_{\varOmega}W^T_jRd\varOmega -\int_{\varGamma}\bar{W}^T_j\bar{R}d\varGamma=0,从而解出待定系数。
